Muestra de trabajos de la academia durante el curso 2019-2020
Esta página contendrá una selección de trabajos, ejercicios, ideas o problemas abiertos que los alumnos trabajarán
durante el curso.
Esta selección de trabajos estará disponible tanto para los propios alumnos comopara cualquier otra persona.
Es, por tanto, una especie de escaparate de la academia para mostrar parte de nuestra actividad.
- Chino
- Inglés
- Robótica, Computación y Matemáticas
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2019-12-08: Ejercicio para pensar durante la semana :
Todo el mundo conoce el cubo de Rubik. En este ejercicio, inspirados de alguna forma en el problema de las ocho reinas,
donde se ha realizado una exploración sobre un espacio enorme de posibilidades para seleccionar aquellas pocas que
cumplen ciertas condiciones, vamos a hacer un ejercicio donde exploraremos las opciones que presenta un cubo de Rubik,
es decir sus diferentes configuraciones para intentar 'descubrir' una forma de poder resolverlo.
Por tanto el objetivo final de esta práctica es tratar de averiguar por nuestra cuenta con ayuda de la programación informática cómo resolver un cubo de Rubik. Para ello, utilizaremos un procedimiento habitual y muy útil tanto en matemáticas como en cualquier otro ámbito de la vida, que consiste en empezar por una versión sencilla del problema a resolver para luego ir paulatinamente ir complicándolo.
Por tanto, el ejercicio de esta semana consiste en resolver el cubo de Rubik de 2x2x2.
Para ello, comenzaremos por explorar con ayuda de programación matemática el espacio de posibilidades que presenta este cubo y como se relacionan entre ellas, es decir de qué configuración se puede acceder a qué otra. Vamos a intentar dibujar la totalidad de este espacio y de sus relaciones, y en ejercicios siguientes veremos como analizarlo.
La solución se dará la próximamente ... -
2019-12-08: Ejercicio para pensar durante la semana :
En relación al problema de las 8 reinas y la solución indicada más abajo, de las 92 soluciones
aparentes, en realidad, no es difícil ver que no todas ellas son 'realmente' distintas, sino que hay parejas de
configuraciones que en realidad corresponden a una misma disposición de las reinas sobre el tablero,
pero el las que en un caso se ha girado el tablero respecto al otro, y por tanto el conteo de en qué columna
está cada reina cambia.
Pues bien, este problema consiste en determinar de esas 92 soluciones aparentemente distintas, cuantas en realidad lo son, y las que no lo son, explicar el porqué.
La solución se dará la próximamente ... -
2019-12-08: Ejercicio para pensar durante la semana :
Un famoso problema relacionado de alguna forma con el ajedrez es el denominado problema de las
8 reinas. Se trata de obtener todas las formas posibles en que pueden colocarse 8 reinas en un tablero
de ajedrez, de forma que ningún par de ellas estén mutuamente amenenazdas.
No es difícil a poco que se hagan varios intentos, con un poco de 'pesquis' que solía decir mi padre, es decir con un poco de intención, listeza o agudeza, encontrar una posible solución para el problema de las ocho reinas. Pero encontrar todas las soluciones posibles de forma 'manual' es una tarea arduo laboriosa, por tanto es mejor apoyarse en la programación matemática.
En la clase se resolvió el problema mediante un programa en Python, se hizo de forma paulatina, empezando por situaciones sencillas y completandolas hasta abarcar la totalidad del problema. En este programa, el ordenador básicamente comprobaba todas las posibles configuraciones en las que cada reina se coloca en las distintas casillas de una fila, por tanto tenemos 8 bucles anidados con 8 valores (las 8 casillas de cada fila) en cada bucle. Para cada una de estas opciones, se comprueba si hay algún par de reinas que se amenazan; si lo hay, se descarta dicha configuración y si no lo hay, entonces hemos encontrado una posible solución.
A continuación se indican las soluciones encontradas, hay un total de 92 soluciones aparentemente distintas. Ver un problema más adelante para entender esto del 'aparentemente'.
Nota: En cada solución se da el número de columna en que se coloca cada reina, empezando por la reina de la fila 1, luego la reina de la fila 2, etc.
1 5 8 6 3 7 2 4
1 6 8 3 7 4 2 5
1 7 4 6 8 2 5 3
1 7 5 8 2 4 6 3
2 4 6 8 3 1 7 5
2 5 7 1 3 8 6 4
2 5 7 4 1 8 6 3
2 6 1 7 4 8 3 5
2 6 8 3 1 4 7 5
2 7 3 6 8 5 1 4
2 7 5 8 1 4 6 3
2 8 6 1 3 5 7 4
3 1 7 5 8 2 4 6
3 5 2 8 1 7 4 6
3 5 2 8 6 4 7 1
3 5 7 1 4 2 8 6
3 5 8 4 1 7 2 6
3 6 2 5 8 1 7 4
3 6 2 7 1 4 8 5
3 6 2 7 5 1 8 4
3 6 4 1 8 5 7 2
3 6 4 2 8 5 7 1
3 6 8 1 4 7 5 2
3 6 8 1 5 7 2 4
3 6 8 2 4 1 7 5
3 7 2 8 5 1 4 6
3 7 2 8 6 4 1 5
3 8 4 7 1 6 2 5
4 1 5 8 2 7 3 6
4 1 5 8 6 3 7 2
4 2 5 8 6 1 3 7
4 2 7 3 6 8 1 5
4 2 7 3 6 8 5 1
4 2 7 5 1 8 6 3
4 2 8 5 7 1 3 6
4 2 8 6 1 3 5 7
4 6 1 5 2 8 3 7
4 6 8 2 7 1 3 5
4 6 8 3 1 7 5 2
4 7 1 8 5 2 6 3
4 7 3 8 2 5 1 6
4 7 5 2 6 1 3 8
4 7 5 3 1 6 8 2
4 8 1 3 6 2 7 5
4 8 1 5 7 2 6 3
4 8 5 3 1 7 2 6
5 1 4 6 8 2 7 3
5 1 8 4 2 7 3 6
5 1 8 6 3 7 2 4
5 2 4 6 8 3 1 7
5 2 4 7 3 8 6 1
5 2 6 1 7 4 8 3
5 2 8 1 4 7 3 6
5 3 1 6 8 2 4 7
5 3 1 7 2 8 6 4
5 3 8 4 7 1 6 2
5 7 1 3 8 6 4 2
5 7 1 4 2 8 6 3
5 7 2 4 8 1 3 6
5 7 2 6 3 1 4 8
5 7 2 6 3 1 8 4
5 7 4 1 3 8 6 2
5 8 4 1 3 6 2 7
5 8 4 1 7 2 6 3
6 1 5 2 8 3 7 4
6 2 7 1 3 5 8 4
6 2 7 1 4 8 5 3
6 3 1 7 5 8 2 4
6 3 1 8 4 2 7 5
6 3 1 8 5 2 4 7
6 3 5 7 1 4 2 8
6 3 5 8 1 4 2 7
6 3 7 2 4 8 1 5
6 3 7 2 8 5 1 4
6 3 7 4 1 8 2 5
6 4 1 5 8 2 7 3
6 4 2 8 5 7 1 3
6 4 7 1 3 5 2 8
6 4 7 1 8 2 5 3
6 8 2 4 1 7 5 3
7 1 3 8 6 4 2 5
7 2 4 1 8 5 3 6
7 2 6 3 1 4 8 5
7 3 1 6 8 5 2 4
7 3 8 2 5 1 6 4
7 4 2 5 8 1 3 6
7 4 2 8 6 1 3 5
7 5 3 1 6 8 2 4
8 2 4 1 7 5 3 6
8 2 5 3 1 7 4 6
8 3 1 6 2 5 7 4
8 4 1 3 6 2 7 5
--- 92 soluciones ---
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2019-11-16: Ejercicio para hacer durante la semana :
Siguiendo con el ajedrez y como continuación del ejercio anterior. Si suponemos que un grano de arroz es como un
paralelepípedo (es decir, como una caja de zapatos) que tiene 0.6 cm de largo, 0.2 cm de ancho y 0.2 cm de alto, entonces
calcular el volumen total que ocuparán los granos del ejercio anterior y comparar este volumen con otro volumen que podamos
tomar como referencia.
Este ejercicio se puede ver resuelto en el siguiente enlace. ¡La de paellas que se pueden hacer con tanto arroz!.
Ver resultado -
2019-11-16: Ejercicio para hacer durante la semana :
Según cuenta la leyenda, al inventor del ajedrez, su rey le ofreció un deseo y éste pidió:
1 grano de arroz por la primera casilla de un tablero de ajedrez,
2 granos de arroz por la segunda casilla del tablero,
4 granos de arroz por la tercera,
8 granos de arroz por la cuarta y así sucesivamente
...
hasta la casilla 64, que es la última del tablero.
La pregunta es calcular exactamente el número de granos de arroz que pidió el inventor del ajedrez.
En la primera casilla hay 1 grano = 2^0 granos
En la segunda casilla hay 2 granos = 2^1 granos
En la tercera casilla hay 4 granos = 2^2 granos
En la cuarta casilla hay 8 granos = 2^3 granos
y así sucesivamente hasta ...
En la casilla número 64 hay 2^63 granos.
Por lo tanto, el número total de granos será:
2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^63
y no es difícil verificar que esta suma es igual a: 2^64 - 1
Por tanto la respuesta definitiva es: 2^64 - 1 = 18446744073709551615 granos de arroz. (El cálculo final se ha hecho con una calculadora apropiada). -
2019-11-10: Ejercicio para hacer durante la semana :
Idear un diseño para poder ser impreso en una camiseta que esté relacionado con espirales.
Por unanimidad, se ha elegido un diseño que combina una espiral de Arquímedes con el número ϖ. Ahora viene la fase de realización, cuando esté finalizada, se presentará el diseño en este mismo lugar. -
2019-11-05: Ejercicio para pensar/hacer durante la semana :
De tanto en tanto salen en "El País" algunos problemas matemáticos, denominados en general desafíos
matemáticos, hoy he visto el siguiente que me parece interesante para pensarlo durante la semana:
Ver desafío
La respuesta viene dada en el siguiente enlace: Ver solución -
2019-11-02: Ejercicio para hacer durante la semana :
Este ejercicio es un problema que viene en el libro "Godel, Escher, Bach" que estoy actualmente leyendo.
Se tiene un sistema formal de cadenas de letras, en el que existen 4 reglas:
Regla 1: Si se tiene una cadena que acabe en la letra I, entonces puede obtenerse otra cadena que es como la inicial pero con una U adicional al final. Es decir, si por ejemplo se tiene la cadena MI, entones puede obtenerse la cadena MIU
Regla 2:Si una cadena es Mx donde x es cualquier secuencia de letras, entonces se puede obtener otra cadena que será Mxx, es decir por ejemplo, a partir de MI se puede obtener MII y a partir de ésta se puede obtener MIIII o por ejemplo a partir de MIUIUIU se podrá obtener MIUIUIUIUIUIU
Regla 3:Si se tienen 3 I seguidas, entonces se puede sustituir por una U, por ejemplo a partir de MIIIU podemos obtener MUU
Regla 4:Finalmente si se tienen 2 U seguidas, se pueden eliminar, por tanto a partir de MUUI se podrá obtener MI
Pues bien, el problema consiste en determinar si en este sistema formal, partiendo de la cadena MI, que se da como punto de partida, se puede obtener (aplicando las reglas 1 a 4 en el orden y cantidad que se desee) la cadena MU
En caso de que sea posible habrá que dar la secuencia de reglas explícitas para obtener MU desde MI y en caso de que no sea posible hay que indicar por qué no es posible.
Respuesta disponible la próxima semana ... Vamos a dejar algo más de tiempo a este ejercicio, así que será seguramente para finales de Noviembre cuando demos la respuesta. -
2019-10-19: Ejercicio para hacer durante la semana :
Buscar en internet información sobre las ESPIRALES, y en particular con la denominada Espiral de Arquímedes. A continuación pensar cómo se puede
dibujar en la práctica una expiral de Arquímedes, y finalmente dibujar un ejemplo de dicha espiral.
Utilizando el programa de programación matemática Mathematica ®, se ha explorado la creación de diversas espirales, incluyendo la espiral de Arquímedes. En el siguiente enlace puede verse el resultado de estas exploraciones.
Ver resultado -
2019-10-12: Ejercicio para hacer durante la semana :
Se trata de hacer el siguiente experimiento matemático: tomar un círculo y enrollar a lo largo de su circunferencia un hilo fino. A continuación
ir desenrollando dicho hilo de forma que la punta del mismo vaya dejando rastro de su trayectoria sobre una hoja de papel (se puede atar a dicho
extremo un lápiz o bolígrafo). Se debe desenrollar el hilo de forma que siempre esté tirante.
El ejercicio consiste en dibujar y traer a la academia la próxima semana la figura resultante dejada por el trazo de la punta del hilo.
La curva obtenida se denomina EVOLVENTE de la circunferencia. Toda curva suave tiene evolvente, de hecho tiene una familia infinita de evolventes. La propiedad más destacable de la evolvente es que la normal o perpendicular a una evolvente en cada uno de sus puntos es tangente a la curva de la cual es evolvente, dicha curva se dice EVOLUTA.
En la imagen siguiente se ve el proceso de realización de la evolvente durante la clase. Obsérvese el hilo (bien tirante) que permite realizar dibujar fácilmente la curva.
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2019-10-12: Ejercicio para hacer durante la semana :
Con los resultados de ejercicio de calcular el número de ceros, unos, does, etc. que hay entre las 10000 primeras cifras del número ϖ
hacer un histograma representando tal información.
El objetivo de este ejercicio era que los alumnos se familiarizaran con el concepto de histograma que es básico en estadística descriptiva. Durante la explicación de este concepto hubo una interesante discusión sobre la pirámides poblacionales, que en realidad son histogramas también.
El resultado se puede dibujar en papel, de forma sencilla, pero se da aquí el resultado realizado con lenguaje python:
Vemos que aparentemente todas las cifras se distribuyen por igual en la expresión decimal del número ϖ, esto es una conclusión a la que se ha llegado estudiando ampliamente su expresión decimal. -
2019-10-05: Ejercicio para pensar durante la semana :
Hacer o pensar una idea para un diseño de un dibujo con temática de matemáticas o robótica que pueda ser creado con la calidad adecuada
para ser impreso en camisetas.
Sobre todas las propuestas presentadas, alguna de contenido escatológico 😟, se decidió trabajar en una de esas propuestas. No explicaré aquí de que se trata, tan solo que tiene que ver con el número ϖ y con una representación gráfica de dicho número que combina 2 escalas métricas y visuales distintas.
Cuando haya disponible una primera versión de dicho diseño, se informará adecuamente por este mismo canal.
Ya está disponible una primera versión del diseño realizado, de hecho incluso se ha impreso una camiseta con él, el resultado es:
Si alguna persona está interesada en tener una camiseta con este diseño, puede contactar directamente con la dirección administracion@c2mr.com -
2019-10-05: Ejercicio para hacer (con un programa en Python por ejemplo) durante la semana :
Siguiendo con el número pi (ϖ): en el link adjunto podemos ver el valor que tiene ϖ con una precisión de 10000 cifras. Este número es un
número transcendente, por tanto su expresión decimal no acaba nunca y no presenta ninguna regularidad periódica. La preguna es, en estas 10000 primeras
cifras del número ϖ, ¿cuántas veces se repite la cifra 0?. ¿Y la cifra 1?, ¿y la 2?, ..., ¿y la 9?
Para resolver este ejercicio se utilizó el lenguaje de programación Python, el resultado puede verse en el siguiente link: Ver resultado
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2019-09-28: Ejercicio para pensar durante la semana :
El número pi (ϖ), posiblemente junto con el 0 y el 1 forman el trío de números más famosos de las matemáticas.
Se puede definir como el resultado de dividir la longitud de una circunferencia entre el diámetro de dicha circunferencia. Sabiendo esto, idea alguna forma de obtener experimentalmente el valor de ϖ y calcula dicho valor de la forma más exacta posible.
ϖ es el número que se obtiene al dividir la longitud de una circunferencia entre el diámetro de dicha circunferencia. Por tanto, la aproximación más sencilla para obtener ϖ experimentalente es justamente tomar un ejemplo de circunferencia, medir su longitud (con ayuda de un hilo que se pone alrededor de ella por ejemplo), medir su diámetro y hacer la división.
Este es el enfoque realizado por los alumnos, que obtuvieron un valor cercano a 3.14. Como ya se ha indicado en otros ejercicios, si se hiciera este experimento en multitud de ocasiones con diferentes circunferencias, se obtendrían una serie de valores cuya media estaría más cercana al valor exacto, dado que el error que siempre se comete en cualquier experimento se tendería a compensar con muchas mediciones. -
2019-09-28: Ejercicio para pensar durante la semana :
En ejercicios anteriores hemos hablado y visto CICLOIDES y también EPICICLOIDES. En este veremos las HIPOCICLOIDES. En concreto, supón el
siguiente escenario: tenemos una circunferencia y dentro de ella, hay otra circunferenia que se apoya sobre la primera: son tangentes interiores.
Si la circunferencia de dentro tiene un radio 4 veces menor que la circunferencia externa, y rueda sin deslizar por el interior de la
circunferencia externa, ¿qué trayectoria describirá un punto fijo (del borde) de la circunferencia interna?
Y si la circunferencia interna tiene radio igual a la mitad del radio de la circunferncia externa. En este caso, ¿qué figura describe un punto fijo del borde de la circunferencia interior?
Si se hace el experimento con mucho cuidado, se obtiene una figura similar a una estrella de 4 puntas, en el caso de que la circunferencia interior tenga un radio 4 veces menor que la circunferencia exterior. Dicha figura se denomina ASTROIDE.
En el caso de que la circunferencia interior tenga un radio que es la mitad del de la circunferencia exterior, la trayectoria que se obtiene es un segmento de linea recta que pasa por el centro de la circunferencia exterior. -
2019-09-21: Ejercicio para pensar durante la semana :
¿Hay en España 2 personas con el mismo número de pelos en la cabeza? Trata de responder argumentando 'matemáticamente' tu conclusión.
(Para este pregunta se excluyen los calvos completos que -vamos a considerar- son aproximadamente el 5% de la población).
La respuesta es sí, y se puede argurmentar de varias formas: por ejemplo aplicando el principio del Palomar que dice algo así como que: si tenemos n palomares y (n+1) palomas se meten dentro de los palomares, entonces en algún palomar habrá más de una paloma.
Aplicado al tema capilar, si partimos de la base de que el máximo de pelos que una persona puede tener en la cabeza es 300.000 (esto se puede consultar por internet por ejemplo), entonces dado que en España somos más de 40.000.000 de personas (incluso excluyendo este hipotético 5% de calvos), si colocamos a cada persona en el 'palomar' corresponiente al número de pelos que tiene, concluimos por el principio del palomar que en algún 'palomar' habrá más de una persona, es decir, habrá algún número de pelos que corresponderá a más de una persona.
Otra forma de argumentar, sin necesidad de recurrir a internet, es considerar el mayor número de pelos que una persona puede tener en 1 milímetro cuadrado. Podemos asumir que sean 5 pelos por ejemplo, en tal caso si todos los españoles tuvieran distinto número de pelos, la persona que más pelos tuviera, tendría al menos 40.000.000 de pelos, y por tanto asumiendo que tiene 5 pelos por milímetro cuadrado, resultaría que tendría una cabeza de unos 8 metros cuadrados !!.
Aun siendo cierto que en España hay unos cuantos cabezones 😜, ninguno llega a tales límites, ni por asomo. Por tanto la asunción de que todas las personas tenían un número distinto de pelos es falsa. Este tipo de razonamientos se denomina 'por reducción al absurdo'.
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2019-09-21: Ejercicio para pensar durante la semana :
Una bola debe desplazarse desde un punto A a otro punto B que está separado del primero por 100 cm en horizontal y 20 cm en vertical.
El punto A está por encima del punto B. La bola caerá por efecto de la gravedad a través de un camino o trayectoria que une ambos puntos.
Se supone que la bola no pierde energía por rozamiento.
La pregunta es: ¿Qué trayectoria de todas las posibles trayectorias que unen el punto A con el B hará que la borra llegue a su destino en el
menor tiempo posible? Se trata de intuir la solución o pensar diversas alternativas que posteriormente podamos simular en el ordenador.
En clase se hizo el ejercicio con una vara flexible y una pelota que se delizaba por dicha vara. Cada alumno puso una trayectoria y medimos los tiempos. En la foto siguiente se puede ver dicho 'artilugio':
El resultado matemáticamente correcto es una CICLOIDE !! que parte del punto A y pasa por el B.
Este es un famoso problema de matemáticas propuesto por Johann Bernoulli a finales del S.XVII, se conoce como problema de la braquistócrona.
Para saber algo más sobre este problema y el contexto histórico, se puede consultar:
Johann Bernoulli en Groningen - Braquistócrona
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2019-09-14: Ejercicio para pensar y hacer durante la semana :
Toma un círculo de radio dado. Luego coloca otro círculo de igual radio en contacto con el primero. Haz rodar este segundo círculo apoyado en el
primero, se trata de rodar sin deslizar, hasta que complete una vuelta entera. Dibujar la figura que traza en este movimiento un punto fijo de la
circunferencia del cículo que gira. Por cierto esta figura se denomina CARDIOIDE ya que tiene forma de corazón.
Trata de estimar la relación de áreas entre la figura del cardioide generado y el círculo que la genera.
Uno de los alumnos hizo el ejercicio de forma similar a como enfocamos el problema de la CICLOIDE de la semana anterior: dibujó el trazo de la trayectoria, recortó la figura, se pesó en una báscula de precisión y luego se pesó el recorte de la figura del círculo de referencia.
El resultado experimental que ha salido es: 0.21/0.07 = 3, que es una estimación bastante alejada del valor real, que es exactamente 6.
Las causas de obtener un resultado tan alejado de la verdad seguramente son varias, pero el hecho de haber dibujado una figuras tan pequeñas y con tan poco peso hace que cualquier desviación que se cometa tenga un impacto muy grande sobre la estimación. Además el papel no era homogéneo, había mucha tinta sobre todo en la parte correspondiente a la moneda, por tanto seguramente esto ha tenido su efecto.
Al día siguiente de la clase hice una prueba muy rápida tomando como círculo base una rueda de las usadas para los sistemás robóticos, que tenía unos 6cm. de diámetro, con ello, según se ve en las fotos siguientes el resultado obtenido es: 1.54 / 0.23 = 6.69 que es bastante más cercano a la realidad, aunque todavía con amplio margen de mejora.
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2019-09-14: Ejercicio para pensar durante la semana :
Una persona debe ir corriendo desde un punto A a un punto B. Según se detalla en la figura adjunta, la
separación horizontal de ambos puntos es L y la separación vertical también es L.
Entre A y B hay una zona de asfalto, otra de arena y una tercera de barro pringoso. Cada una de estas zonas tiene el mismo tamaño, es decir L/3 de anchura. En el asfalto la velocidad de esta persona es V, en la arena es la mitad V/2 y en el barro es un tercio V/3. La pregunta es: ¿cuál es la mejor estrategia para que esta persona llegue de A a B en el menor tiempo posible? Explica porqué y trata de precisar dicha estrategia todo lo posible.
Este problema es una derivación sencilla del que se vio la semana pasada. Se puede resolver o tratar de acercarse a la solución óptima mediante mediciones de distancias teniendo en cuenta que hay que contar doble la distancia recorrida en el tramo de terreno en que va a velocidad V/2 y hay que contar triple la distancia en el tramo del terrero en que la velocidad es V/3.
En todo caso hacer estas aproximaciones manualmente es muy laborioso, ya que el problema tiene 2 incógnitas indepenientes: corte con la línea que separa asfalto de arena y corte con la línea que separa arena y barro.
Este tipo de problemas se puede resolver muy facilmente con programas específicos para explorar las matemáticas, como Mathematica ®, con el siguiendo el esquema esbozado en esta hoja, se puede ver la solución exacta.
Ver tratamiento mediante Mathematica®
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2019-09-07: Ejercicio para pensar durante la semana :
Una persona debe ir corriendo desde un punto A a un punto B. Según se detalla en la figura adjunta, la
separación horizontal de ambos puntos es L y la separación vertical también es L.
Entre A y B hay una zona de asfalto y otra de arena, en el asfalto la velocidad de esta persona es V y en la arena es la mitad V/2. La pregunta es: ¿cuál es la mejor estrategia para que esta persona llegue de A a B en el menor tiempo posible? Explica porqué y trata de precisar dicha estrategia todo lo posible.
Parece claro que la estrategia mejor es ir corriendo desde el punto A a un punto, llamémosle X de la linea que separa el asfalto de la arena y luego ir también en linea recta desde dicho punto X al punto B. Normalmente los puntos A, X y B no estarán alineados, ya que al ser la velocidad menor en la arena, la mejor estrategia pasará por hacer un recorrido más largo en la zona del alfalto.
Pero, ¿cómo determinar dicho punto X?
Una forma sencilla que no requiere hacer cuenta alguna es simplemente darse cuenta de que el tiempo tardado en recorrer una distancia d en la arena con la velocidad propia de la arena, es igual al tiempo de recorrer una distancia 2d con la velocidad propia del asfalto; dicho de otra forma, se tardar el mismo tiempo en recorrer una distancia dada a una velocidad dada, que recorrer el doble de esa distancia a velocidad doble que la dada. Así pues, para estimar el punto X, debemos tratar de que la distancia total entre A y X, más 2 veces la distancia entre X y B sea la menor posible.
En clase se hizo este ejercicio en la pizarra para varios valores de X, determinando que el valor óptimo debía estar cerca de 75 (tomando L como 100).
Con ayuda de un programa informático diseñado para hacer mátemáticas, es sencillo escribir la función que nos da el tiempo en función de X, y dibujarla para ver el valor mínimo, que resulta ser aprox. 76.9
Ver tratamiento mediante Mathematica® -
2019-09-07: Ejercicio para pensar y hacer durante la semana :
Un círculo rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal. Dibujar sobre un papel el rastro que deja la trayectoria de un punto fijo de la circunferencia
de dicho círculo partiendo de la situación en que está en contacto con la linea horizontal y acabando una vez que vuelve a estar en contacto con la misma linea.
Una vez se tenga dicha figura, tratar de estimar cuanto mayor es el área de la figura obtenida (limitada por la trayectoria del punto del borde y la línea horizontal)
con respecto al área del círculo inicial.
En clase tomamos una moneda de 2 euros y la hicimos rodar sin deslizar sobre una regla, la figura que iba trazando un punto fijo de su borde se dibujó sobre un papel, dicha figura se denomina en matemática una CICLOIDE, y es una de las curvas más interesantes que se pueden encontrar en la historia de las matemáticas.
Finalmente se recortó en un mismo tipo de papel por un lado un círculo equivalente a la moneda de 2 euros y por otro lado un arco de cicloide.
En estas imágenes pueden verse ambas figuras:
Para estimar la relación entre las áreas, dado que el papel en que se recortaron ambas figuras es el mismo, el área de cada una de ellas es proporcional al peso de dichos recortes de papel, por tanto, lo que hicimos es pesar ambos trozos de papel con una báscula de precisión.
El resultado de dichas mediciones, según se ve en las imágenes es: 0.11 gramos para el círculo y 0.28 gramos para el arco de cicloide, por tanto la relación entre ambos sería:
0.28 / 0.11 = 2.54
Naturalmente este no es el resultado matemáticamente exacto, es solo una aproximación. Si se repitiera todo el proceso de creación de las figuras, recorte y peso muchas veces, varios centenares de veces, obtendríamos una distribución de valores aproximados, que, muy probablemente se distribuirían en modo normal entorno al valor de 3. Y es que matemáticamente, el área de un arco de cicloide es justamente 3 veces mayor que el área del círculo que genera dicho arco de cicloide. Este resultado se conoce en matemáticas como el Teorema de Galileo. - 西班牙语
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2019-09-15: Letras y Sonidos básicos del español (字母和基本的西班牙语发音)
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2019-09-21: Escritura letras del español (写西班牙字母)
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2019-09-22: Pronunciación palabras básicas (发音基本词)
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2019-11-11: Pronunciación palabras básicas 2 (发音基本词 2)